গণিতের সকল শাখায় যে কয়েকটি উপপাদ্য অনেক বেশি ব্যবহৃত হয়, তার মধ্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি থাকবে উপরের দিকেই। পিথাগোরাসের এই বিখ্যাত উপপাদ্য নিয়েই আজকে আলোচনা করব আমরা।
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের ইতিহাস
পিথাগোরাসের উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয় গ্রীক গণিতবিদ পিথাগোরাসের (খ্রিস্টপূর্ব ৫৭০-৫০০) নামে এই উপপাদ্যের নামকরণ করা হলেও এই উপপাদ্যের ব্যবহার ছিলো আরও অনেককাল আগে থেকেই। খ্রিস্টপূর্ব প্রায় ১৯০০-১৬০০ সালের মধ্যে ব্যাবিলিয়নদের কাজে পাওয়া যায় পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ। সে সময়ের ব্যবিলিয়নদের ব্যবহৃত ক্লে ট্যাবলেটে পাওয়া যায় পিথাগোরিয়ান ট্রিপলেটের উপস্থিতি। এছাড়া খ্রিস্টপূর্ব ৮০০ থেকে ৪০০ এর মধ্যে ভারতীয় অনেক গণিতবিদও এই উপপাদ্য অন্যান্য বিভিন্নভাবে ব্যাখ্যা করে গেছেন তা জানা যায় “সূলবা-সূত্র” থেকে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য
কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ওই ত্রিভুজেরই অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
*সমকোণী ত্রিভুজ: যে ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ বা 90° তাকে সমকোণী ত্রিভুজ বলা হয়।
*অতিভূজ: সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণের বিপরীত বাহুকে অতিভুজ বলে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ পদ্ধতি
অসংখ্য পদ্ধতিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ করা যায়। তারমধ্যে ৩ টি পদ্ধতি হলো:
১. দুটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে
২. দুটি সদৃশকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে
৩. বীজগণিতের সাহায্যে
আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ করব পিথাগোরাসের উপপাদ্যের মূল উপজীব্য সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যেই।
সাধারণ নির্বচন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ওই ত্রিভুজেরই অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
বিশেষ নির্বচন: মনে করি, △ABC সমকোণী ক্রিভুজের ∠B এক সমকোণ বা 90°। ত্রিভুজটির অতিভুজ AC = b, AB = c ও BC = a।
প্রমাণ করতে হবে যে, AC2 = AB2 + BC2, অর্থাৎ
b2 = c² +a2
অঙ্কন: BC কে D পর্যন্ত বর্ধিত করি, যেন CD = AB = c হয়। D বিন্দুতে বর্ধিত BC এর উপর DE লম্ব অঙ্কণ করি, যেন DE = BC = a হয়। C, E এবং A, E যোগ করি।
প্রমাণ:
ধাপ ১) △ABC এবং △DCE এ AB = CD = c, BC = DE = a এবং এদের অন্তর্ভূক্ত ∠ABC = অন্তর্ভূক্ত ∠CDE। [যেহেতু প্রত্যেকে এক সমকোণ বা 90°।]
সুতরাং, △ABC এবং △CDE সর্বসম। [বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্য অনুযায়ী।]
অর্থাৎ, AC = CE = b এবং ∠BAC = ∠ECD
ধাপ ২) আবার AB, BD এর উপর লম্ব এবং ED ও BD এর উপর লম্ব। সুতরাং, AB ও ED পরষ্পর সমান্তরাল। সুতরাং ABDE একটি ট্রাপিজিয়াম।
ধাপ ৩) এখন, ∠ACB + কোন BAC = ∠ACB + ∠ECD = এক সমকোণ। [যেহেতু ∠BAC এবং ∠ECD পরস্পর সমান।]
ফলে কোণ ACE = এক সমকোণ। অর্থাৎ △ACE সমকোণী ত্রিভুজ।
এখন, ট্রাপিজিয়াম ABDE এর ক্ষেত্রফল =
(△ ক্ষেত্র ABC + △ ক্ষেত্র CDE + △ ক্ষেত্র ACE)
বা, ½ BD(AB+DE) = ½ ac + ½ ac + ½ b2
বা, ½ (BC+CD( (AB+DE) = ½ [2ac+b2]
বা, (a+c)(a+c) = 2ac + b2
সুতরাং, b2 = c² +a2
[প্রমাণিত]
দুটি সমকোণী ত্রিভুজের সাহায্যে পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি প্রমাণ করা হলো।
হাতে কলমে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের প্রমাণ
উপরে যে প্রমান দেখানো হয়েছে সেটা হয়তোবা আমাদের অনেকের কাছে কঠিন মনে হতে পারে। আমরা অনেকে হয়তো বা প্রমাণ থেকে প্রকৃতপক্ষে পিথাগোরাস কি বুঝাতে চেয়েছেন সেটা বুঝতে পারিনি। নিম্নে আমরা এমন একটি পদ্ধতি দেখাতে চলেছি যেটা দিয়ে আমরা প্রকৃতপক্ষে পিথাগোরাস কি বোঝাতে চেয়েছেন তা প্রমান সহকারে বুঝতে পারব।
পিথাগোরাস বলেছেন:
“কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ওই ত্রিভুজেরই অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।“
এটা দেখার জন্য আমদের:
- প্রথমে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকতে হবে
- তারপরে সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ এর উপরে একটি বর্গ আঁকতে হবে
- একইভাবে ভূমি এবং উচ্চতার বাহুর উপরে বর্গ আঁকতে হবে
প্রথমে আমরা অতিভুজের উপর অঙ্কিত যে বর্গ রয়েছে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করবো। এর জন্য আমাদেরকে অতিভুজের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে এবং সেই দৈর্ঘ্যর বর্গ করতে হবে, তবেই আমরা অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল পেয়ে যাব।
চিত্রে দেখা যাচ্ছে অঙ্কিত সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 5 সেন্টিমিটার। এর বর্গ করা হয় তবে আমরা পাচ্ছি 25 সেন্টিমিটার মানে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 25 বর্গ সেন্টিমিটার।
ঠিক একই ভাবে আমরা ভূমির দৈর্ঘ্য নির্ণয় করব এবং তার বর্গ করব এবং উচ্চতার দৈর্ঘ্য নির্ণয় করে তার বর্গ নির্ণয় করব। চিত্র দেখা যাচ্ছে ভূমির দৈর্ঘ্য ভূমির দৈর্ঘ্য 3 সেন্টিমিটার এবং উচ্চতার দৈর্ঘ্য 4 সেন্টিমিটার। এই ক্ষেত্রে ভূমির উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 9 বর্গ সেন্টিমিটার এবং উচ্চতার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 16 বর্গ সেন্টিমিটার। আমরা যদি এই দুটোকে যোগ করি তবে আমাদের মোট আসছে (16+9 =25) 25 বর্গ সেন্টিমিটার।
অর্থাৎ এক্ষেত্রে আমরা বুঝতে পারছি যে, অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কিন্তু ভূমি ও উচ্চতার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। মূলত এই বিষয়টি পিথাগোরাস আমাদেরকে বোঝানোর চেষ্টা করেছেন।
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্যও রয়েছে। আমরা শুধু পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্যের মূল অংশটুকু জেনে রাখব।
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিপরীত উপপাদ্য
কোনো ত্রিভুজের একটি বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে, ত্রিভুজটি সমকোণী হবে, যার বৃহত্তম বাহুর বিপরীত কোণ সমকোণ হবে।
এই বিপরীত উপপাদ্যটি আসলে পিথাগোরাসের উপপাদ্যকেই উল্টোদিক থেকে ব্যাখ্যা করে, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাথে সাংঘর্ষিক মনে হতে পারে অনেকের কাছে নাম শুনে, তবে মূলত একটি সাংঘর্ষিক কোনো উপপাদ্য নয়।
এই ছিল পিথাগোরাসের উপপাদ্য বিষয়ক আমাদের এই আর্টিকেলটি। এরকম আরো ইনফরমেটিভ আর্টিকেল আমাদের এই ওয়েবসাইটে পাবেন যেগুলো আপনার জ্ঞানের পরিধিকে প্রসারিত করবে। অন্যান্য ইনফরমেটিভ আর্টিকেলগুলো ঘুরে দেখার আমন্ত্রণ রইল।
